В2. Четвертая часть одного из смежных углов и 4/7 другого составляют в сумме прямой угол. Найдите разность данных углов.

Решение:

Пусть смежные углы равны \( \alpha \) и \( \beta \). Известно, что \( \alpha + \beta = 180° \).

По условию задачи:

\( \frac{1}{4} \alpha + \frac{4}{7} \beta = 180° \)

Выразим \( \beta \) через \( \alpha \): \( \beta = 180° - \alpha \).

Подставим это в уравнение:

\( \frac{1}{4} \alpha + \frac{4}{7} (180° - \alpha) = 180° \)

Умножим обе части уравнения на \( 28 \) (наименьший общий знаменатель для 4 и 7), чтобы избавиться от дробей:

\( 7 \alpha + 16 (180° - \alpha) = 28 \cdot 180° \)

\( 7 \alpha + 2880° - 16 \alpha = 5040° \)

\( -9 \alpha = 5040° - 2880° \)

\( -9 \alpha = 2160° \)

\( \alpha = \frac{2160°}{-9} \)

\( \alpha = -240° \) — это неверно, так как угол не может быть отрицательным. Давайте перечитаем условие: «Четвертая часть одного из смежных углов и 4/7 другого составляют в сумме прямой угол». Это означает, что \( \frac{1}{4} \alpha + \frac{4}{7} \beta = 90° \) (прямой угол).

\( \frac{1}{4} \alpha + \frac{4}{7} (180° - \alpha) = 90° \)

Умножим на \( 28 \):

\( 7 \alpha + 16 (180° - \alpha) = 28 \cdot 90° \)

\( 7 \alpha + 2880° - 16 \alpha = 2520° \)

\( -9 \alpha = 2520° - 2880° \)

\( -9 \alpha = -360° \)

\( \alpha = \frac{-360°}{-9} = 40° \)

Теперь найдем \( \beta \):

\( \beta = 180° - \alpha = 180° - 40° = 140° \)

Разность данных углов:

\( |\alpha - \beta| = |40° - 140°| = |-100°| = 100° \)

Ответ: 100°.