Контрольные задания > 6. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём \(\angle OBC = \angle ODA\); \(BO = OD\). Периметр треугольника \(BOC\) равен 26 см, а периметр треугольника \(AOB\) равен 32 см; \(AD = 10\) см. 1) Докажите, что четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм, 2) Найдите периметр четырехугольника \(ABCD\).
Вопрос:

6. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём \(\angle OBC = \angle ODA\); \(BO = OD\). Периметр треугольника \(BOC\) равен 26 см, а периметр треугольника \(AOB\) равен 32 см; \(AD = 10\) см. 1) Докажите, что четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм, 2) Найдите периметр четырехугольника \(ABCD\).

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 68 см

Краткое пояснение: Доказываем равенство треугольников, затем равенство углов, после этого делаем вывод о параллельности сторон. И находим периметр.
Показать пошаговое решение
  1. Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\):
  2. \(BO = OD\) (по условию)
  3. \(\angle OBC = \angle ODA\) (по условию)
  4. \(\angle BOC = \angle DOA\) (как вертикальные)
  5. Следовательно, \(\triangle BOC = \triangle DOA\) по стороне и двум прилежащим углам.
  6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(BC = AD\) и \(OC = OA\).
  7. Так как \(BC = AD = 10\) см, то \(BC = 10\) см.
  8. Так как \(BO = OD\) и \(OC = OA\), то диагонали четырехугольника \(ABCD\) точкой пересечения делятся пополам.
  9. Следовательно, четырехугольник \(ABCD\) - параллелограмм.
  10. Периметр треугольника \(BOC\) равен 26 см: \(BO + OC + BC = 26\)
  11. \(BO + OC = 26 - BC = 26 - 10 = 16\) см.
  12. Периметр треугольника \(AOB\) равен 32 см: \(AO + OB + AB = 32\)
  13. \(AB = 32 - AO - OB = 32 - 16 = 16\) см.
  14. Периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(2(AB + BC) = 2(16 + 10) = 2 \cdot 26 = 52\) см.
  15. Найдем периметр четырехугольника \(ABCD\): \(P = 2(AD + AB)\). Так как \(ABCD\) - параллелограмм, то \(P = 2(10 + 24) = 2 \cdot 34 = 68\) см.

Ответ: 68 см

Ты — Математический гений

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена

ГДЗ по фото 📸

Похожие