В1. В прямоугольном треугольнике ABC угол между бис- сектрисой СК и высотой СН, проведенными из вершины прямого угла С, равен 15°. АВ = 12 см. Найдите сторо- ну ВС, если известно, что точка К лежит между А и Н.

В1. В прямоугольном треугольнике ABC угол между биссектрисой СК и высотой СН, проведенными из вершины прямого угла С, равен 15°. АВ = 12 см. Найдите сторону ВС, если известно, что точка К лежит между А и Н.

Пусть ∠АСВ = 90°. По условию, угол между биссектрисой СК и высотой СН равен 15°, то есть ∠КСН = 15°. Так как СК - биссектриса угла С, то ∠АСК = ∠ВСК = 45°. Тогда ∠АСН = ∠АСК - ∠КСН = 45° - 15° = 30°. В прямоугольном треугольнике АСН угол А равен 90° - ∠АСН = 90° - 30° = 60°. Следовательно, угол В равен 90° - ∠А = 90° - 60° = 30°. Катет АС лежит против угла В, равного 30 градусам, следовательно, AC = (1/2)*AB = (1/2)*12 = 6 см. По теореме Пифагора, \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(6\sqrt{3}\) см