318 В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС (AB < AC) проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.

Доказательство:

В треугольнике ABC проведена высота AH и биссектриса AD. Нужно доказать, что угол HAD равен полуразности углов B и C.

Пусть $$ \angle B = \beta $$, $$ \angle C = \gamma $$. Так как AB < AC, то $$ \beta > \gamma $$.

Угол BAH = 90° - β.

Так как AD - биссектриса, угол BAD = $$ \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} (180^\circ - \beta - \gamma) = 90^\circ - \frac{\beta}{2} - \frac{\gamma}{2}$$.

Угол HAD = угол BAD - угол BAH = $$ (90^\circ - \frac{\beta}{2} - \frac{\gamma}{2}) - (90^\circ - \beta) = \frac{\beta}{2} - \frac{\gamma}{2} = \frac{\beta - \gamma}{2} = \frac{\angle B - \angle C}{2}$$.

Таким образом, угол HAD равен полуразности углов B и C.

Ответ: доказано, что угол HAD равен полуразности углов B и C.