2. В треугольнике PQS проведена биссектриса РТ. Най- дите стороны PQ и PS, если QT = 8 дм, TS = 10 дм и угол QTP равен углу QPS.

2. В треугольнике PQS проведена биссектриса PT. Найдите стороны PQ и PS, если QT = 8 дм, TS = 10 дм и угол QTP равен углу QPS.

Пусть угол QTP = углу QPS = α. Так как PT — биссектриса угла QPS, то угол QPT = угол TPS = α/2.

Рассмотрим треугольник PQT. Угол PQT + угол QPT + угол QTP = 180° (сумма углов в треугольнике).

Угол PQT + α/2 + α = 180°

Угол PQT = 180° - 3α/2

Рассмотрим треугольник PQS. Угол PQS + угол QPS + угол PSQ = 180°

Угол PSQ = 180° - α - (180° - 3α/2) = α/2

В треугольнике PTS угол TPS = углу PSQ = α/2, следовательно, треугольник PTS равнобедренный, и PT = TS = 10 дм.

По свойству биссектрисы треугольника:

$$\frac{PQ}{PS} = \frac{QT}{TS}$$

Пусть PQ = x, PS = y.

$$\frac{x}{y} = \frac{8}{10}$$

x = 0.8y

Заметим, что треугольники PQT и PQS подобны, так как имеют общий угол Q, и угол QTP = углу QPS.

Следовательно:

$$\frac{PQ}{QT} = \frac{QS}{PQ}$$ $$PQ^2 = QT \cdot QS$$

x^2 = 8(8 + 10)

x^2 = 8 * 18 = 144

x = 12

PQ = 12 дм.

PS = x / 0.8 = 12 / 0.8 = 15

PS = 15 дм.

Ответ: PQ = 12 дм, PS = 15 дм.