2. В треугольнике PQS проведена биссектриса РТ. Най- дите стороны PQ и PS, если QT = 6 дм, TS = 12 дм и угол QPS в два раза больше угла QSP.

2. По свойству биссектрисы треугольника:

$$ \frac{PQ}{PS} = \frac{QT}{TS} $$.

Подставим известные значения:

$$ \frac{PQ}{PS} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$.

Пусть PQ = x, тогда PS = 2x. По теореме синусов:

$$ \frac{QT}{\sin \angle QPT} = \frac{TS}{\sin \angle TPS} $$.

Так как PT - биссектриса, то ∠QPT = ∠TPS. Тогда

$$ \frac{PQ}{\sin \angle PSQ} = \frac{PS}{\sin \angle PQS} $$.

По условию ∠QPS = 2∠QSP, обозначим ∠QSP = α, тогда ∠QPS = 2α.

Имеем:

$$ \frac{x}{\sin α} = \frac{2x}{\sin 2α} $$.

Используем формулу синуса двойного угла: sin 2α = 2sin α cos α.

Тогда:

$$ \frac{x}{\sin α} = \frac{2x}{2\sin α \cos α} $$.

Отсюда cos α = 1, значит α = 60°, тогда ∠QPS = 120°.

По теореме косинусов для треугольника PQS:

$$ QS^2 = PQ^2 + PS^2 - 2 \cdot PQ \cdot PS \cdot \cos \angle QPS $$.

Подставим известные значения QS = QT + TS = 6 + 12 = 18 дм, ∠QPS = 120°:

$$ 18^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2x \cdot \cos 120° $$.

$$ 324 = x^2 + 4x^2 - 4x^2 \cdot (-\frac{1}{2}) $$.

$$ 324 = 5x^2 + 2x^2 $$.

$$ 7x^2 = 324 $$.

$$ x^2 = \frac{324}{7} $$.

$$ x = \sqrt{\frac{324}{7}} = \frac{18}{\sqrt{7}} = \frac{18\sqrt{7}}{7} $$.

Тогда PQ = $$ \frac{18\sqrt{7}}{7} $$ дм, PS = $$ \frac{36\sqrt{7}}{7} $$ дм.

Ответ: PQ = $$ \frac{18\sqrt{7}}{7} $$ дм, PS = $$ \frac{36\sqrt{7}}{7} $$ дм.