5. В треугольнике MNF известно, что \(\angle N = 90^\circ\), \(\angle M = 30^\circ\), отрезок FD - биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

В треугольнике MNF \(\angle N = 90^\circ\), \(\angle M = 30^\circ\). FD - биссектриса. Нужно найти катет MN, если FD = 20 см. 1. Найдем \(\angle F\) в треугольнике MNF: \(\angle F = 180^\circ - \angle M - \angle N = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\) 2. FD - биссектриса, значит, \(\angle NFD = \frac{1}{2} \angle F = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\) 3. Рассмотрим треугольник NFD. В нем \(\angle N = 90^\circ\), \(\angle NFD = 30^\circ\), FD = 20 см. Нужно найти NF. 4. Используем косинус угла NFD: \(\cos(\angle NFD) = \frac{NF}{FD}\) \(\cos(30^\circ) = \frac{NF}{20}\) \(NF = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\) см 5. Рассмотрим треугольник MNF. В нем \(\angle N = 90^\circ\), \(\angle M = 30^\circ\), NF = \(10\sqrt{3}\) см. Нужно найти MN. 6. Используем тангенс угла M: \(\tan(\angle M) = \frac{MN}{NF}\) \(\tan(30^\circ) = \frac{MN}{10\sqrt{3}}\) \(MN = 10\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 10\) см Ответ: Катет MN равен 10 см.