В треугольнике DBC известно, что \( \angle D = 40^{\circ}, \angle B = 74^{\circ} \). Биссектриса угла C пересекает сторону BD в точке М. Найдите угол CNB.

Решение:

1. В треугольнике DBC сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Найдём \( \angle C \): \( \angle C = 180^{\circ} - \angle D - \angle B = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 74^{\circ} = 66^{\circ} \).
2. CM — биссектриса угла C, поэтому она делит угол C пополам: \( \angle DCM = \angle MCB = \frac{66^{\circ}}{2} = 33^{\circ} \).
3. Рассмотрим треугольник CMB. У нас известны \( \angle MCB = 33^{\circ} \) и \( \angle CBM = \angle B = 74^{\circ} \).
4. Найдём \( \angle CMB \): \( \angle CMB = 180^{\circ} - \angle MCB - \angle CBM = 180^{\circ} - 33^{\circ} - 74^{\circ} = 73^{\circ} \).
5. Угол \( \angle CNB \) является смежным с углом \( \angle CMB \) (если бы N лежала на продолжении BM). Однако, в задании сказано "Найдите угол CNB", но точки N нет на чертеже и в условии. Предполагается, что N — точка на стороне BD. Возможно, имелся в виду угол \( \angle CMB \) или \( \angle CMD \).
6. Если предположить, что N совпадает с B, то \( \angle CNB = \angle CMB = 73^{\circ} \).
7. Если предположить, что N совпадает с D, то \( \angle CNB \) не определён.
8. Если предположить, что M — это N, то \( \angle CMB = 73^{\circ} \).
9. Если предположить, что N — это точка на стороне BD, и вопрос имел в виду \( \angle CMD \), то \( \angle CMD = 180^{\circ} - \angle CMB = 180^{\circ} - 73^{\circ} = 107^{\circ} \).
10. Исходя из контекста задач, где часто спрашивают про углы в треугольнике, наиболее вероятно, что имелся в виду угол \( \angle CMB \) или \( \angle CMD \).
11. Если предположить, что N — это точка на стороне BD, и вопрос подразумевает, что CM является высотой (что не сказано), то \( \angle CNB \) было бы \( 90^{\circ} \).
12. С учётом того, что \( \angle B = 74^{\circ} \) и \( \angle D = 40^{\circ} \), и CM — биссектриса \( \angle C \), то \( \angle MCB = 33^{\circ} \).
13. В треугольнике CMB: \( \angle CMB = 180^{\circ} - 74^{\circ} - 33^{\circ} = 73^{\circ} \).
14. Возможно, N — это точка на стороне CD, и вопрос про \( \angle CNB \) некорректен.
15. Если предположить, что в задании опечатка и имелся в виду \( \angle CMB \), то ответ \( 73^{\circ} \).
16. Если предположить, что N — это точка на стороне CD, и нужно найти \( \angle CMB \), то это \( 73^{\circ} \).
17. Если предположить, что N — это точка на стороне BD, и вопрос о \( \angle CNB \) некорректен.
18. Предположим, что N — это точка на стороне BD, и вопрос про \( \angle CND \) или \( \angle CMB \).
19. Угол \( \angle CMB \) = 73^{\(\circ\)}.
20. Угол \( \angle CMD \) = 107^{\(\circ\)}.
21. Если N — точка на BC, то \( \angle CNB \) может быть разным.
22. Предполагая, что N — это точка на BD, и вопрос о \( \angle CMB \).
23. Уточнение: В задании, скорее всего, имелась в виду точка M, и нужно найти угол \( \angle CMB \).

Ответ: \( 73^{\circ} \).