24 В треугольнике АВС угол В равен 36°, АВ = BC, AD – биссектриса. Докажите, что треугольник ABD – равнобедренный.

Дано: ΔABC, ∠B = 36°, AB = BC, AD - биссектриса ∠A.

Доказать: ΔABD - равнобедренный.

Доказательство:

Т.к. AB = BC, то ΔABC - равнобедренный, следовательно, ∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 36°) / 2 = 144° / 2 = 72°.

Т.к. AD - биссектриса ∠A, то ∠BAD = ∠CAD = ∠A / 2 = 72° / 2 = 36°.

Рассмотрим ΔABD. ∠ABD = ∠B = 36°, ∠BAD = 36°, следовательно, ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 36° - 36° = 108°.

Так как ∠ABD = ∠BAD = 36°, то ΔABD - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

Ответ: доказано, что треугольник ABD - равнобедренный.