В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 4 и sinA = √19 / 10. Найдите АС.

Решение:

1. Вспоминаем определение синуса: В прямоугольном треугольнике синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Записываем формулу:

   \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

3. Подставляем известные значения:

   \[ \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{BC}{4} \]

4. Находим длину катета BC:

   \[ BC = 4 \times \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{2\sqrt{19}}{5} \]

5. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

   \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

6. Подставляем известные значения и находим AC:

   \[ AC^2 + \left(\frac{2\sqrt{19}}{5}\right)^2 = 4^2 \]
   \[ AC^2 + \frac{4 \times 19}{25} = 16 \]
   \[ AC^2 + \frac{76}{25} = 16 \]
   \[ AC^2 = 16 - \frac{76}{25} = \frac{16 \times 25 - 76}{25} = \frac{400 - 76}{25} = \frac{324}{25} \]
   \[ AC = \sqrt{\frac{324}{25}} = \frac{18}{5} = 3.6 \]

Ответ: 3.6