43. В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC=15, tgA=\frac{2\sqrt{6}}{5}. Найдите АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, AC = 15 и $$tgA = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$, требуется найти длину гипотенузы AB.

Тангенс угла A (tgA) определяется как отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

$$tgA = \frac{BC}{AC}$$

Из условия задачи известно, что $$tgA = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$ и AC = 15. Подставим эти значения в формулу:

$$\frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{BC}{15}$$

Чтобы найти BC, умножим обе стороны уравнения на 15:

$$BC = \frac{2\sqrt{6}}{5} \times 15$$

$$BC = 2\sqrt{6} \times 3$$

$$BC = 6\sqrt{6}$$

Теперь, когда известны длины катетов AC и BC, можно найти длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$$AB^2 = 15^2 + (6\sqrt{6})^2$$

$$AB^2 = 225 + 36 \times 6$$

$$AB^2 = 225 + 216$$

$$AB^2 = 441$$

$$AB = \sqrt{441}$$

$$AB = 21$$

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 21.

Ответ: 21