В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и У, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 24.

1. Треугольник АВС равнобедренный, ∠BAC = ∠BCA = 75°. ∠ABC = 180° - 75° - 75° = 30°.
2. В равнобедренном треугольнике АВХ (АХ=ВХ) ∠ABX = ∠BAX = 30°. ∠AXB = 180° - 30° - 30° = 120°.
3. Так как ∠BAX = ∠YAX, то ∠CAY = ∠BAC - ∠BAX - ∠YAX = 75° - 30° - 30° = 15°. В треугольнике АХС, ∠AXC = 180° - 120° = 60°. ∠XAC = 75° - 30° = 45°.
4. В треугольнике АХС: ∠XCA = 75°, ∠XAC = 45°, ∠AXC = 60°. По теореме синусов: AX/sin(75°) = AC/sin(60°). AC = 24 * sin(60°)/sin(75°) = 24 * (√3/2) / ((√6+√2)/4) = 48√3 / (√6+√2) = 12√3(√6-√2) = 12(√18-√6) = 36√2 - 12√6.
5. В треугольнике AYC: ∠YAC = 15°, ∠YCA = 75°. ∠AYC = 180° - 15° - 75° = 90°.
6. В прямоугольном треугольнике AYC: AY = AC * sin(75°) = (36√2 - 12√6) * ((√6+√2)/4) = (9√2 - 3√6)(√6+√2) = 9√12 + 18 - 18 - 6√12 = 9*2√3 - 6*2√3 = 18√3 - 12√3 = 6√3.