4. В треугольнике АВС сторона АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. Найдите площадь треугольника АВС: 1) вычислив сначала высоту к стороне АС; 2) используя формулу Герона.

4. В треугольнике ABC сторона AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC:

1) вычислив сначала высоту к стороне AC;

Обозначим высоту, проведенную из вершины B к стороне AC, как BH.

Пусть AH = x, тогда HC = 15 - x.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и CBH.

В треугольнике ABH по теореме Пифагора:

$$BH^2 = AB^2 - AH^2$$

$$BH^2 = 13^2 - x^2$$

$$BH^2 = 169 - x^2$$

В треугольнике CBH по теореме Пифагора:

$$BH^2 = BC^2 - HC^2$$

$$BH^2 = 14^2 - (15 - x)^2$$

$$BH^2 = 196 - (225 - 30x + x^2)$$

$$BH^2 = 196 - 225 + 30x - x^2$$

$$BH^2 = -29 + 30x - x^2$$

Приравняем выражения для BH^2:

$$169 - x^2 = -29 + 30x - x^2$$

$$169 = -29 + 30x$$

$$30x = 169 + 29$$

$$30x = 198$$

$$x = \frac{198}{30} = \frac{33}{5} = 6.6$$

AH = 6.6 см.

Теперь найдем BH:

$$BH^2 = 169 - (6.6)^2$$

$$BH^2 = 169 - 43.56$$

$$BH^2 = 125.44$$

$$BH = \sqrt{125.44} = 11.2$$

BH = 11.2 см.

Площадь треугольника ABC равна:

$$S = \frac{1}{2} * AC * BH$$

$$S = \frac{1}{2} * 15 * 11.2$$

$$S = 7.5 * 11.2 = 84$$

S = 84 кв. см.

2) используя формулу Герона.

Полупериметр треугольника равен:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

$$p = 21$$

По формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

$$S = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$$

$$S = \sqrt{21 * 8 * 7 * 6}$$

$$S = \sqrt{3 * 7 * 2 * 4 * 7 * 2 * 3}$$

$$S = \sqrt{3^2 * 7^2 * 2^2 * 4}$$

$$S = 3 * 7 * 2 * 2 = 84$$

$$S = 84$$

Площадь треугольника равна 84 кв. см.

Ответ: Площадь треугольника АВС равна 84 кв. см.