3. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, АВ=13 см, BD=10см. Найдите АС и площадь ромба

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.

Рассмотрим треугольник ABO, где AB = 13 см - гипотенуза, BO = BD/2 = 10/2 = 5 см - катет.

Найдем катет AO по теореме Пифагора:

$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Тогда AC = 2 * AO = 2 * 12 = 24 см.

Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120 \text{ см}^2$$

Ответ: АС = 24 см, площадь ромба = 120 см^2