В треугольнике АВС (рис. 2) проведена медиана СМ. Медиана СМ отсекает от треугольника АВС равносторонний треугольник СМА. Известно, что ∠МСА=60°. Найти угол СМВ.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором CM - медиана, а треугольник CMA - равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, значит, ∠MCA = ∠MAC = ∠AMC = 60°. Так как CM - медиана, то AM = MB. Так как треугольник CMA - равносторонний, то CM = MA = AC. Следовательно, CM = MB.

Рассмотрим треугольник CMB - равнобедренный, так как CM = MB. Значит, углы при основании равны: ∠MCB = ∠MBC. Угол ∠AMB - развернутый, равен 180°.

Найдем угол ∠CMB:

$$ ∠CMB = 180° - ∠AMC = 180° - 60° = 120° $$

Найдем углы при основании в треугольнике CMB:

$$ ∠MCB = ∠MBC = (180° - ∠CMB) : 2 = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 = 30° $$

Ответ: ∠CMB = 120°