3. В треугольнике АВС (рис. 3) про- веден отрезок ВК так, что ZKBC = ZA, АК = 7 см, КС = 9 см. Найдите длину стороны ВС.

Ответ: 12 см

Логика такая:

Шаг 1: Рассмотрим треугольники ABK и KBC.

• ∠BKC = ∠A + ∠ABK (как внешний угол треугольника ABK).
• ∠A = ∠KBC (по условию).
• Следовательно, ∠BKC = ∠KBC + ∠ABK.

Шаг 2: Из равенства углов следует, что ∠ABK = ∠BCK.

Шаг 3: Таким образом, треугольники ABK и KBC подобны по двум углам (∠A = ∠KBC и ∠ABK = ∠BCK).

Шаг 4: Запишем отношение сторон из подобия треугольников:

\[\frac{AK}{BK} = \frac{BK}{BC} = \frac{AB}{KC}\]

Шаг 5: Известно, что AK = 7 см и KC = 9 см. Запишем равенство:

\[\frac{AK}{BK} = \frac{BK}{KC}\]

\[\frac{7}{BK} = \frac{BK}{9}\]

Шаг 6: Найдем BK:

\[BK^2 = 7 \cdot 9 = 63\]

\[BK = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}\]

Шаг 7: Запишем другое равенство:

\[\frac{BK}{BC} = \frac{AB}{KC}\]

Используем равенство:

\[\frac{AK}{BK} = \frac{BK}{BC}\]

\[\frac{7}{3\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{BC}\]

Шаг 8: Найдем BC:

\[BC = \frac{(3\sqrt{7})^2}{7} = \frac{9 \cdot 7}{7} = 9\]

Шаг 9: Рассмотрим подобие треугольников ABC и KBC. Запишем отношение сторон:

\[\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{KC}\]

\[\frac{7+9}{BC} = \frac{BC}{9}\]

\[\frac{16}{BC} = \frac{BC}{9}\]

\[BC^2 = 16 \cdot 9 = 144\]

\[BC = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12 см