5. Дана трапеция ABCD (AD|| BC), диагонали трапеции пересекаются в точке О, Ѕвос = 3 см², SCOD = 12 см². Най- дите площадь трапеции АВCD.

Ответ: 27 см²

Шаг 1: Поскольку AD || BC, треугольники BOC и AOD подобны. Также, треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

Шаг 2: Запишем отношение площадей подобных треугольников BOC и AOD, которое равно квадрату коэффициента подобия k:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2\]

Шаг 3: Площади треугольников BOC и COD относятся как основания BO и OD, так как у них общая высота. Значит:

\[\frac{BO}{OD} = \frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\]

Шаг 4: Коэффициент подобия равен отношению оснований:

\[k = \frac{BO}{OD} = \frac{1}{4}\]

Шаг 5: Найдем площадь треугольника AOD, зная, что S_BOC = 3 см²:

\[\frac{3}{S_{AOD}} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\]

\[S_{AOD} = 3 \cdot 16 = 48 \text{ см}^2\]

Шаг 6: Площади треугольников ABO и CDO равны. Найдем их:

\[S_{ABO} = S_{CDO} = \sqrt{S_{BOC} \cdot S_{AOD}} = \sqrt{3 \cdot 48} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}^2\]

Шаг 7: Площадь трапеции равна сумме площадей всех четырех треугольников:

\[S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{ABO} + S_{CDO} = 3 + 48 + 12 + 12 = 75 \text{ см}^2\]

Ответ: 75 см²