В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК: КМ = 4 : 9. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АКМ к площади четырёхугольника КРСМ.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Пусть $$S_{AKM} = x$$.
$$BK:KM = 4:9$$.
Проведём медиану $$AM$$ в треугольнике $$ABC$$.
По свойству медианы, $$S_{ABM} = S_{CBM}$$.
$$S_{ABM} = S_{AKM} + S_{ABK}$$.
$$S_{ABK} = \frac{4}{9} S_{AKM} = \frac{4}{9}x$$.
$$S_{ABM} = x + \frac{4}{9}x = \frac{13}{9}x$$.
$$S_{ABC} = 2 S_{ABM} = \frac{26}{9}x$$.
$$S_{AKM} + S_{KBC} = \frac{26}{9}x$$.
$$S_{KBC} = \frac{26}{9}x - x = \frac{17}{9}x$$.
$$\frac{BP}{PC} = \frac{BK}{KM} = \frac{4}{9}$$.
$$S_{KPC} = \frac{PC}{BC} S_{KBC} = \frac{9}{13} S_{KBC}$$.
$$S_{KPC} = \frac{9}{13} \cdot \frac{17}{9} x = \frac{17}{13} \cdot \frac{1}{3} x = \frac{17}{13}x$$.
$$S_{KPCM} = S_{KBC} - S_{KPC} = \frac{17}{9}x - \frac{17}{13}x = \frac{221 - 153}{117} x = \frac{68}{117} x$$.
Отношение площади треугольника $$AKM$$ к площади четырехугольника $$KPCM$$:
$$\frac{S_{AKM}}{S_{KPCM}} = \frac{x}{\frac{68}{117} x} = \frac{117}{68}$$.

Ответ: 117/68