7 Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Р и Q соответственно. Докажите, что отрезки ВР и DQ равны.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Рассмотрим параллелограмм ABCD.
О - точка пересечения диагоналей.
Прямая, проходящая через О, пересекает AB в точке P и CD в точке Q.
Докажем, что BP = DQ.
$$AO = OC$$, $$BO = OD$$ (свойство диагоналей параллелограмма).
$$\angle OAP = \angle OCQ$$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).
$$\angle AOP = \angle COQ$$ (вертикальные углы).
Следовательно, треугольники AOP и COQ равны по стороне и двум прилежащим углам (AO = OC, $$\angle OAP = \angle OCQ$$, $$\angle AOP = \angle COQ$$).
Из равенства треугольников следует, что $$AP = CQ$$.
Так как ABCD - параллелограмм, $$AB = CD$$.
$$BP = AB - AP$$ и $$DQ = CD - CQ$$.
Поскольку $$AB = CD$$ и $$AP = CQ$$, то $$BP = DQ$$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано