Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, BC = 16, CF : DF = 5: 3.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Пусть $$AD$$ и $$BC$$ – основания трапеции, а $$EF$$ параллельна им.
$$AD = 48$$, $$BC = 16$$, $$\frac{CF}{DF} = \frac{5}{3}$$.
Пусть $$\frac{CF}{DF} = \frac{5}{3}=k$$. Тогда $$CF=5k$$, $$DF = 3k$$, $$CD=CF+DF=5k+3k=8k$$.
Проведем прямую через точку $$C$$ параллельно $$AB$$. Пусть она пересечет $$EF$$ в точке $$H$$, а $$AD$$ в точке $$G$$.
Тогда $$BC=EH=GD=16$$.
$$AG=AD-GD=48-16=32$$.
Рассмотрим треугольник $$CDG$$. В нем $$FH \parallel GD$$.
По теореме Фалеса $$\frac{CF}{CD}=\frac{EH}{AG}$$.
$$\frac{5k}{8k}=\frac{EH}{32}$$.
$$\frac{5}{8}=\frac{EH}{32}$$.
$$EH=\frac{5\cdot32}{8}=5\cdot4=20$$.
$$EF=EH+BC=20+16=36$$.

Ответ: 36