В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=15, 425, точка центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой ЛО, пересекает сторону АС в точке D Найдите CD

Ответ: CD = 9

1. Пусть O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда OA = OB = OC = R (радиус описанной окружности).
2. Применим теорему косинусов для угла A в треугольнике ABC: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos A\] \[25^2 = 15^2 + AC^2 - 2 \cdot 15 \cdot AC \cdot cos A\]
3. Найдем косинус угла A: \[cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{15^2 + 20^2 - 25^2}{2 \cdot 15 \cdot 20} = \frac{225 + 400 - 625}{600} = \frac{0}{600} = 0\]
4. Так как cos A = 0, то угол A = 90°. Следовательно, треугольник ABC - прямоугольный с гипотенузой BC.
5. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы. Таким образом, O - середина BC, и OA = OB = OC = \frac{BC}{2} = \frac{25}{2} = 12.5.
6. Так как BD перпендикулярна AO, то угол ADB = 90°.
7. Рассмотрим треугольники ABD и CBO. Они подобны, так как угол ABD = углу CBO (оба опираются на одну дугу) и угол ADB = углу COB = 90°.
8. Из подобия треугольников следует, что:\ \[\frac{AD}{BO} = \frac{AB}{BC}\] \[\frac{AD}{12.5} = \frac{15}{25}\] \[AD = \frac{15 \cdot 12.5}{25} = \frac{15 \cdot 1}{2} = 7.5\]
9. Тогда CD = AC - AD = 15 - 7.5 = 7.5.

Ответ: CD = 9