4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ - биссектриса треугольника. Найдите ка- тет АС, если ВМ = 6 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит угол B = 180° - 90° - 30° = 60°.

BM - биссектриса, значит угол ABM = углу CBM = 60° : 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник ABM. В нем угол A = углу ABM = 30°, значит треугольник ABM - равнобедренный, следовательно AM = BM = 6 см.

Рассмотрим треугольник ABC. Синус угла A = отношению противолежащего катета к гипотенузе.

$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$, следовательно $$\sin 30^{\circ} = \frac{BC}{AB}$$

$$\frac{1}{2} = \frac{BC}{AB}$$, следовательно AB = 2BC.

По теореме Пифагора $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$, следовательно $$AC^2 = AB^2 - BC^2$$.

$$AC^2 = (2BC)^2 - BC^2 = 4BC^2 - BC^2 = 3BC^2$$, следовательно $$AC = BC\sqrt{3}$$.

Катет BC лежит против угла A = 30°, следовательно он равен половине гипотенузы, т.е. BC = 0,5AB.

Так как AM = 6, то AC = AM + MC, следовательно AC = 6 + MC.

Тангенс угла A = отношению противолежащего катета к прилежащему.

$$\tan A = \frac{BC}{AC}$$, следовательно $$\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{6 + MC}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{BC}{6 + MC}$$, следовательно $$BC = \frac{(6 + MC)\sqrt{3}}{3}$$.

Решение не завершено, так как недостаточно данных.

Ответ: недостаточно данных