148. В треугольнике АВС из- вестно, что ∠C= 90°, ∠A = = 30°. Биссектриса угла В пересекает катет АС в точке М. Найдите ВМ, если AMCM = 4 см.

Ответ: BM = 8 см

В треугольнике \(\triangle ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle A = 30^\circ\). Биссектриса угла \(B\) пересекает катет \(AC\) в точке \(M\). Нужно найти \(BM\), если \(AM - CM = 4\) см.

Так как \(BM\) - биссектриса угла \(\angle B\), то \(\angle ABM = \angle CBM\). Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\):

\[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\]

Подставим известные значения:

\[30^\circ + \angle B + 90^\circ = 180^\circ\]

\[\angle B = 60^\circ\]

Значит, \(\angle ABM = \angle CBM = 30^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABM\):

В нём \(\angle A = \angle ABM = 30^\circ\), следовательно, \(\triangle ABM\) - равнобедренный, и \(AM = BM\).

По условию, \(AM - CM = 4\) см.

Найдём \(CM\), используя свойство биссектрисы угла треугольника. Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника, т.е.

\[\frac{AM}{CM} = \frac{AB}{BC}\]

Пусть \(CM = x\), тогда \(AM = x + 4\). Теперь найдём \(BC\) через тангенс угла \(\angle A\):

\[\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}\]

Выразим \(BC\):

\[BC = AC \cdot \tan(\angle A) = (AM + CM) \cdot \tan(30^\circ) = (x + 4 + x) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = (2x + 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Теперь рассмотрим \(\triangle ABM\):

\[\frac{BM}{\sin(30^\circ)} = \frac{AM}{\sin(\angle AMB)}\]

Значит \(AB = 8\), а \(BC = 4\sqrt{3}\), значит \(CM = 4\).

Так как \(\triangle ABM\) - равнобедренный, то \(AM = BM\).

Тогда:

\[BM = AM = 8 \text{ см}\]

Ответ: BM = 8 см