145. В прямоугольном треугольнике DEP (ДР = 90°) провели высоту РК. Найдите угол PDE, если РЕ = 6 см, КЕ = 3 см.

Ответ: ∠PDE = 30°

В прямоугольном треугольнике DEP (∠P = 90°) провели высоту PK. Нужно найти угол PDE, если PE = 6 см, KE = 3 см.

В прямоугольном \(\triangle DPE\) высота \(PK\) проведена к гипотенузе \(DE\). Рассмотрим прямоугольный \(\triangle PEK\):

По теореме Пифагора найдем \(PK\):

\[PE^2 = PK^2 + KE^2\]\[6^2 = PK^2 + 3^2\]\[36 = PK^2 + 9\]\[PK^2 = 27\]\[PK = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}\]

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle DPK\):

Найдем \(DK\) через теорему Пифагора, предварительно найдя \(DE\):

\[DE = KE + DK\]

Найдём \(DE\) по теореме Пифагора для треугольника \(\triangle DEP\):

\[DE^2 = DP^2 + PE^2\]

Чтобы найти \(DP\) рассмотрим прямоугольный \(\triangle DPK\), в котором \(DP\) - гипотенуза, значит \(DP > PK\), но у нас нет информации о соотношении сторон.

Другое решение:

Рассмотрим \(\triangle PEK\):

\[\cos(\angle PEK) = \frac{KE}{PE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]\[\angle PEK = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ\]

Так как \(PK\) высота, то \(\angle PKE = 90^\circ\).

В \(\triangle DEP\):

\[\angle DEP + \angle PDE = 90^\circ\]

Так как \(\angle DEP = \angle PEK = 60^\circ\), то:

\[\angle PDE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

Ответ: ∠PDE = 30°