Контрольные задания > В треугольнике АВС АС = BC = 5, sinA = \(\frac{7}{25}\). Найдите АВ.
Вопрос:

В треугольнике АВС АС = BC = 5, sinA = \(\frac{7}{25}\). Найдите АВ.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: \(\frac{14}{5}\)

Краткое пояснение: Используем теорему синусов для нахождения стороны AB.
  1. Запишем теорему синусов для треугольника ABC: \[\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\]
  2. Так как AC = BC, то \(\angle A = \angle B\). Следовательно, \(\sin A = \sin B = \frac{7}{25}\).
  3. Найдем угол C: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам: \[A + B + C = 180^\circ\] Выразим угол C: \[C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - 2A\]
  4. Тогда \(\sin C = \sin(180^\circ - 2A) = \sin(2A)\).
  5. Используем формулу синуса двойного угла: \[\sin(2A) = 2\sin A \cos A\]
  6. Найдем \(\cos A\). Зная, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), получим: \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}\]
  7. Тогда \(\cos A = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\).
  8. Подставим значения в формулу для \(\sin(2A)\): \[\sin C = \sin(2A) = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 24}{25 \cdot 25} = \frac{336}{625}\]
  9. Теперь используем теорему синусов: \[\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}\]
  10. Выразим AB: \[AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{5 \cdot \frac{336}{625}}{\frac{7}{25}} = \frac{5 \cdot 336 \cdot 25}{625 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 336 \cdot 25}{25 \cdot 25 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 336}{25 \cdot 7} = \frac{1680}{175}\]
  11. Упростим: \[\frac{1680}{175} = \frac{336}{35} = \frac{48}{5}\]
Итого: \[AB = \frac{48}{5}\]

Ответ: \(\frac{48}{5}\)

Цифровой атлет
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
ГДЗ по фото 📸

Похожие