В треугольнике ABC угол C равен 90°. AB = 5√17, sin A = 1/√17. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

Из условия известно, что гипотенуза \( AB = 5\sqrt{17} \) и \( \sin A = \frac{1}{\sqrt{17}} \).

В прямоугольном треугольнике \( \sin A = \frac{BC}{AB} \), где \( BC \) — катет, противолежащий углу \( A \).

Тогда \( BC = AB \cdot \sin A = 5\sqrt{17} \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} = 5 \).

Теперь найдём второй катет \( AC \) по теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

\[ AC^2 + 5^2 = (5\sqrt{17})^2 \]

\[ AC^2 + 25 = 25 \cdot 17 \]

\[ AC^2 + 25 = 425 \]

\[ AC^2 = 400 \]

\[ AC = \(\sqrt{400}\) = 20 \).

Теперь найдём площадь треугольника:

\[ S = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) AC \(\cdot\) BC = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 20 \(\cdot\) 5 = 50 \).

Ответ: 50.