В треугольнике ABC AB = BC = 12. \( \angle ABC = 120^{\circ} \). BK — биссектриса. Найдите длину BK.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) \( AB = BC = 12 \), следовательно, он равнобедренный. \( \angle ABC = 120^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Углы при основании \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

\( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \). Значит, \( \angle ABK = \angle KBC = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ABK \). Мы знаем \( AB = 12 \), \( \angle BAC = 30^{\circ} \), \( \angle ABK = 60^{\circ} \). Третий угол \( \angle AKB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} \).

Таким образом, \( BK \) является высотой треугольника \( ABC \).

В прямоугольном треугольнике \( ABK \):

\[ \sin(\angle BAC) = \frac{BK}{AB} \]

\[ \sin(30^{\circ}) = \frac{BK}{12} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{BK}{12} \]

\[ BK = 12 \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) = 6 \).

Ответ: 6.