В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 24, sin A = $$\frac{\sqrt{15}}{4}$$. Найдите длину стороны AC.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) (угол \( C = 90^\circ \)), синус угла \( A \) определяется как отношение противолежащего катета \( BC \) к гипотенузе \( AB \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]
2. Нам дано \( \sin A = \frac{\sqrt{15}}{4} \) и \( AB = 24 \). Подставим известные значения, чтобы найти длину катета \( BC \): \[ \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{BC}{24} \]
3. Выразим \( BC \) из уравнения: \[ BC = 24 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \]
4. Сократим \( 24 \) и \( 4 \): \[ BC = 6 \sqrt{15} \]
5. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
6. Подставим известные значения \( AB = 24 \) и \( BC = 6\sqrt{15} \): \[ AC^2 + (6\sqrt{15})^2 = 24^2 \]
7. Вычислим квадраты: \( (6\sqrt{15})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 36 \cdot 15 = 540 \) и \( 24^2 = 576 \).
8. Уравнение примет вид: \[ AC^2 + 540 = 576 \]
9. Найдем \( AC^2 \): \[ AC^2 = 576 - 540 = 36 \]
10. Извлечем квадратный корень, чтобы найти \( AC \): \[ AC = \sqrt{36} = 6 \]

Ответ: 6