В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90^\circ$$, $$tg A = 0,25$$. Найдите синус угла $$A$$.

7. Дано: \(\angle C = 90^\circ\), \(tg A = 0,25 = \frac{1}{4}\)

Найти: \(\sin A\)

Решение:

Известно, что \(tg A = \frac{\sin A}{\cos A}\), отсюда \(\cos A = \frac{\sin A}{tg A}\)

Также известно, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\). Подставим выражение для \(\cos A\) в это уравнение:

$$\sin^2 A + (\frac{\sin A}{tg A})^2 = 1$$ $$\sin^2 A + \frac{\sin^2 A}{tg^2 A} = 1$$

Вынесем \(\sin^2 A\) за скобки:

$$\sin^2 A (1 + \frac{1}{tg^2 A}) = 1$$

Выразим \(\sin^2 A\):

$$\sin^2 A = \frac{1}{1 + \frac{1}{tg^2 A}}$$

Подставим значение \(tg A = \frac{1}{4}\):

$$\sin^2 A = \frac{1}{1 + \frac{1}{(\frac{1}{4})^2}}$$ $$\sin^2 A = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{1}{16}}}$$ $$\sin^2 A = \frac{1}{1 + 16}$$ $$\sin^2 A = \frac{1}{17}$$

Тогда \(\sin A = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}\)

Ответ: $$\frac{\sqrt{17}}{17}$$