В треугольнике ABC проведены медианы AM и BK. Найдите длины сторон и периметр треугольника ABC, если BM = 6 см, AK = 9 см, MK = 4 см.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), AM — медиана, BK — медиана. \( BM = 6 \) см, \( AK = 9 \) см, \( MK = 4 \) см.

Найти: AB, BC, AC, \( P_{ABC} \).

AM — медиана, значит, M — середина BC. \( BM = MC = 6 \) см. Следовательно, \( BC = BM + MC = 6 + 6 = 12 \) см.

BK — медиана, значит, K — середина AC. \( AK = KC = 9 \) см. Следовательно, \( AC = AK + KC = 9 + 9 = 18 \) см.

MK — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (BC и AC). По теореме о средней линии треугольника, средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

MK \( || \) AB и \( MK = \frac{1}{2} AB \).

\( 4 = \frac{1}{2} AB \) \( \implies AB = 4 \cdot 2 = 8 \) см.

Теперь найдем периметр треугольника ABC:

\( P_{ABC} = AB + BC + AC = 8 + 12 + 18 = 38 \) см.

Ответ: AB = 8 см, BC = 12 см, AC = 18 см, P(ABC) = 38 см.