В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона равна 6 см, а большее основание равно 14 см. Вычислите длину меньшего основания.

Решение:

Обозначим трапецию ABCD, где AB || CD. Трапеция прямоугольная, значит, один из углов при боковой стороне равен 90°.

Пусть \( \angle D = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 90^{\circ} \). Тогда AD — высота. AD = 6 см (меньшая боковая сторона).

Большее основание CD = 14 см.

Острый угол равен 45°. Это может быть \( \angle BCD \) или \( \angle ABC \).

Если \( \angle BCD = 45^{\circ} \), то проведем высоту BH из вершины B на основание CD. \( BH = AD = 6 \) см.

В прямоугольном треугольнике BHC: \( \angle BCH = 45^{\circ} \), \( \angle BHC = 90^{\circ} \). Значит, \( \triangle BHC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. BH = HC = 6 см.

\( CD = DH + HC \). Поскольку ABHD — прямоугольник, DH = AB (меньшее основание).

\( 14 = AB + 6 \) \( \implies AB = 14 - 6 = 8 \) см.

Если острый угол \( \angle ABC = 45^{\circ} \).

В прямоугольной трапеции \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \). AD = 6 см. CD = 14 см. AB — меньшее основание.

Проведем высоту BH из B на CD. BH = AD = 6 см.

В прямоугольном треугольнике BHC, \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Значит, \( \triangle BHC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. BH = HC = 6 см.

\( CD = DH + HC \). DH = AB.

\( 14 = AB + 6 \) \( \implies AB = 14 - 6 = 8 \) см.

Ответ: 8