В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 104, HC = 26. В угле ACB = 75°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Найдём длину AH:

\( AH = AC - HC = 104 - 26 = 78 \)

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC:

\( \tan(\angle C) = \frac{BH}{HC} \)

\( \tan(75^{\circ}) = \frac{BH}{26} \)

\( BH = 26 \cdot \tan(75^{\circ}) \)

Значение \( \tan(75^{\circ}) \) можно найти как \( \tan(45^{\circ}+30^{\circ}) = \frac{\tan(45^{\circ})+\tan(30^{\circ})}{1-\tan(45^{\circ})\tan(30^{\circ})} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \)

\( BH = 26 \cdot (2 + \sqrt{3}) \approx 26 \cdot 3.732 \approx 96.9 \)

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB:

\( \tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} = \frac{78}{26 \cdot \tan(75^{\circ})} = \frac{3}{\tan(75^{\circ})} = \frac{3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{3(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{4-3} = 6 - 3\sqrt{3} \approx 0.804 \)

\( \angle ABH = \arctan(6 - 3\sqrt{3}) \approx 38.8^{\circ} \)

4. Найдём угол BAM:

\( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} \) (в треугольнике BHC), но это неверно, т.к. ABC не является прямоугольным. Нам дан угол C = 75°.

В треугольнике ABH: \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH \)

\( \angle BAH \approx 90^{\circ} - 38.8^{\circ} = 51.2^{\circ} \)

5. Найдём угол AMB:

В треугольнике ABM, угол AMB является внешним для треугольника BMC. Или, сумма углов в треугольнике ABM:

\( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BAM - \angle ABM \)

\( \angle ABM = \angle ABC - \angle HBC \)

В треугольнике ABC, \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle BCA \). Нам не известен \( \angle BAC \).

Переосмыслим задачу.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC. Следовательно, AM = MC = 104 / 2 = 52.

Мы знаем HC = 26. Значит, MH = MC - HC = 52 - 26 = 26.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC:

\( BH = HC \cdot \tan(\angle C) = 26 \cdot \tan(75^{\circ}) = 26 (2 + \sqrt{3}) \approx 97.03 \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHM:

\( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} \)

\( \tan(\angle AMB) = \frac{26 (2 + \sqrt{3})}{26} = 2 + \sqrt{3} \)

\( \angle AMB = \arctan(2 + \sqrt{3}) \)

Мы знаем, что \( \tan(75^{\circ}) = 2 + \sqrt{3} \).

Значит, \( \angle AMB = 75^{\circ} \).

Ответ: 75.