В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Через точку K проведён отрезок NM, параллельный стороне AC (N ∈ AB, M ∈ BC). Найдите отрезок NM, если AN = 6 см, MC = 5 см.

1. Рассмотрим треугольник ABC. AK и BK – биссектрисы углов A и B соответственно. NM || AC.

2. ∠NAK = ∠KAC, так как AK – биссектриса. ∠NKA = ∠KAC, как накрест лежащие углы при параллельных прямых NM и AC и секущей AK. Следовательно, ∠NAK = ∠NKA. Значит, треугольник ANK – равнобедренный, и AN = NK.

3. Аналогично, ∠MBK = ∠KBC, так как BK – биссектриса. ∠BMK = ∠KCA, как накрест лежащие углы при параллельных прямых NM и AC и секущей BK. Следовательно, ∠MBK = ∠BMK. Значит, треугольник BMK – равнобедренный, и BM = MK.

4. Тогда NM = NK + KM = AN + CM = 6 + 5 = 11 см.

Ответ: 11 см