Точка M лежит вне окружности с центром в точке O. Точка K принадлежит окружности. Докажите, что если ∠KMO + ∠MOK = 90°, то прямая MK – касательная к окружности.

1. Предположим, что MK не является касательной к окружности. Тогда MK пересекает окружность в точке K и в некоторой точке P.

2. Рассмотрим треугольник OKM. По условию, ∠KMO + ∠MOK = 90°. Следовательно, ∠OKM = 180° - (∠KMO + ∠MOK) = 180° - 90° = 90°.

3. Так как точка K лежит на окружности с центром O, OK – радиус окружности. Если ∠OKM = 90°, то OK ⊥ MK. Это означает, что MK – касательная к окружности в точке K, что и требовалось доказать.