262 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ – прямые, ВD и В₁D₁ – биссектрисы. Докажите, что ΔABC = ∆A₁B₁C₁, если ∠B= ∠B₁ и BD = B₁D₁.

1. Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:

• BD = B₁D₁ (по условию)
• ∠ABD = 1/2 ∠B, ∠A₁B₁D₁ = 1/2 ∠B₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы), следовательно, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (по условию ∠B= ∠B₁)
• ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию)

Следовательно, ΔABD = ΔA₁B₁D₁ по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

2. Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует:

• AB = A₁B₁
• ∠B = ∠B₁ (по условию)
• ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию)

Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по катету и прилежащему острому углу.

Ответ: ΔABC = ΔA₁B₁C₁ (что и требовалось доказать).