В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = AC₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что ΔBPC = ΔB₁P₁C₁.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

По условию AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.

Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что BC = B₁C₁ и ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
Из условия AP = A₁P₁ следует, что BP = AB - AP и B₁P₁ = A₁B₁ - A₁P₁.

Так как AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁, то BP = B₁P₁.
Рассмотрим треугольники BPC и B₁P₁C₁.

BC = B₁C₁ (доказано выше).

BP = B₁P₁ (доказано выше).

∠ABC = ∠A₁B₁C₁ (из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).

Следовательно, ΔBPC = ΔB₁P₁C₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Таким образом, равенство треугольников BPC и B₁P₁C₁ доказано.