4." В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВС: AD=3:5, BD= 24 см. Найдите ВО и OD.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Так как BC и AD - основания трапеции, то BC || AD.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Угол ∠BOC = ∠DOA как вертикальные, угол ∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} $$

Пусть BO = 3x, тогда OD = 5x. Известно, что BD = 24 см.

Тогда:

$$ BO + OD = BD $$ $$ 3x + 5x = 24 $$ $$ 8x = 24 $$ $$ x = 3 $$

Следовательно, BO = 3 \cdot 3 = 9 см, OD = 5 \cdot 3 = 15 см.

Ответ: BO = 9 см, OD = 15 см