В ромбе $$ABCD$$ точки $$F$$, $$P$$ и $$M$$ — середины сторон $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно (рис. 128). Найдите сумму длин диагоналей ромба, если $$AB = 5$$ см, а периметр треугольника $$FPM$$ равен 12 см.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Пусть $$AC = d_1$$ и $$BD = d_2$$ — диагонали ромба. $$F, P, M$$ — середины сторон $$BC, CD, DA$$ соответственно. Периметр треугольника $$FPM$$ равен 12 см. Нам нужно найти $$d_1 + d_2$$.

Так как $$F$$, $$P$$ и $$M$$ — середины сторон, то $$FP$$, $$PM$$ и $$MF$$ являются средними линиями треугольников $$BCD$$, $$CDA$$ и $$DAB$$ соответственно.

Средняя линия треугольника равна половине стороны, которую она не пересекает. Следовательно:

• $$FP = \frac{1}{2}BD = \frac{d_2}{2}$$
• $$PM = \frac{1}{2}AC = \frac{d_1}{2}$$
• $$MF = \frac{1}{2}AB = \frac{BC}{2} = \frac{CD}{2} = \frac{DA}{2}$$

Сторона ромба $$AB = 5$$ см, тогда $$MF = \frac{1}{2}AC$$. Но $$MF = \frac{1}{2}AB = \frac{5}{2} = 2.5$$ см.

Периметр треугольника $$FPM$$ равен $$FP + PM + MF = 12$$.

Подставим известные значения:

$$\frac{d_2}{2} + \frac{d_1}{2} + 2.5 = 12$$

$$\frac{d_1 + d_2}{2} = 12 - 2.5$$

$$\frac{d_1 + d_2}{2} = 9.5$$

$$d_1 + d_2 = 2 \cdot 9.5$$

$$d_1 + d_2 = 19$$

Сумма длин диагоналей ромба равна 19 см.

Ответ: 19 см.