В четырехугольнике $$ABCD$$ диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны. Точки $$M$$, $$F$$, $$K$$ и $$P$$ — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно. Докажите, что $$MK = FP$$.

Рассмотрим четырехугольник $$ABCD$$ с перпендикулярными диагоналями $$AC \perp BD$$. Точки $$M, F, K, P$$ - середины сторон $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно. Нужно доказать, что $$MK = FP$$.

Соединим точки $$M$$ и $$P$$, $$F$$ и $$K$$.

$$MP$$ - средняя линия треугольника $$ABD$$, следовательно $$MP || BD$$ и $$MP = \frac{1}{2}BD$$.

$$FK$$ - средняя линия треугольника $$BCD$$, следовательно $$FK || BD$$ и $$FK = \frac{1}{2}BD$$.

Значит, $$MP || FK$$ и $$MP = FK$$. Следовательно, $$MPFK$$ - параллелограмм.

Аналогично:

$$MF$$ - средняя линия треугольника $$ABC$$, следовательно $$MF || AC$$ и $$MF = \frac{1}{2}AC$$.

$$PK$$ - средняя линия треугольника $$ADC$$, следовательно $$PK || AC$$ и $$PK = \frac{1}{2}AC$$.

Значит, $$MF || PK$$ и $$MF = PK$$.

Так как $$AC \perp BD$$, то $$MP \perp MF$$. Значит, параллелограмм $$MPFK$$ является прямоугольником.

В прямоугольнике диагонали равны, следовательно $$MK = FP$$, что и требовалось доказать.