2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Периметр треугольника ABC равен 40 см, периметр треугольника ABM равен 32 см. Найти медиану AM.

1) Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон:

$$P_{ABC} = AB + BC + AC = 40$$

2) Периметр треугольника ABM равен сумме длин всех его сторон:

$$P_{ABM} = AB + BM + AM = 32$$

3) AM - медиана, значит BM = MC, следовательно, BC = 2 * BM.

4) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит AB = AC.

5) Выразим из первого уравнения AC:

$$AC = 40 - AB - BC$$

6) Подставим AC во второе уравнение, учтем, что AC = AB, BC = 2 * BM:

$$AB = 40 - AB - 2 \cdot BM$$ $$2 \cdot AB + 2 \cdot BM = 40$$ $$AB + BM = 20$$

7) Выразим из второго уравнения AM:

$$AM = 32 - AB - BM$$

8) Подставим (AB + BM = 20) в последнее уравнение:

$$AM = 32 - 20 = 12$$

Ответ: 12