В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторо- на АВ = 52, sin A ника АВС.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab \sin{\gamma}$$, где $$a$$ и $$b$$ - стороны треугольника, $$\gamma$$ - угол между ними.

Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, то есть $$A = C$$.

Тогда площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin{A}$$

Так как треугольник равнобедренный, то $$AB = BC = 52$$.

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}}$$

Выразим AC:

$$AC = \frac{BC \cdot \sin{B}}{\sin{A}}$$

Подставим в формулу площади:

$$S = \frac{1}{2}AB \cdot \frac{BC \cdot \sin{B}}{\sin{A}} \cdot \sin{A} = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{B}$$

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, тогда

$$B = 180 - A - C = 180 - 2A$$

Тогда

$$\sin{B} = \sin{(180 - 2A)} = \sin{2A} = 2 \sin{A} \cos{A}$$

Тогда площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot 2 \sin{A} \cos{A} = AB \cdot BC \cdot \sin{A} \cos{A}$$

Выразим косинус из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2{A} + \cos^2{A} = 1$$ $$\cos{A} = \sqrt{1 - \sin^2{A}} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

Тогда площадь треугольника равна:

$$S = 52 \cdot 52 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = 4 \cdot 52 \cdot 5 \cdot \frac{12}{13} = 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 12 = 16 \cdot 60 = 960$$

Ответ: 960