6. В равнобедренном дABC AB=BC, 201=70° Я - Вам. Из вершины В проведена биссектри В.М. Найдите ( и длину отрезка (М.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно $$\angle C = \angle A = 70^\circ$$. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

$$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$.

ВМ - биссектриса, делит угол пополам, следовательно $$\angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2} \cdot \angle B = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$$.

Рассмотрим треугольник АВМ, в котором известна сторона АВ = 8 см, углы $$\angle A = 70^\circ, \angle ABM = 20^\circ$$, тогда $$\angle BMA = 180^\circ - (\angle A + \angle ABM) = 180^\circ - (70^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$. Следовательно треугольник АВМ - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тогда $$cos A = \frac{AM}{AB}$$, откуда $$AM = AB \cdot cos A = 8 \cdot cos 70^\circ$$.

Так как треугольник АВС - равнобедренный, а ВМ - высота, проведенная к основанию, то точка М делит сторону АС пополам, следовательно

$$AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 \cdot cos 70^\circ = 16 \cdot cos 70^\circ \approx 16 \cdot 0,342 \approx 5,47 \text{ см}$$.

Ответ: $$\angle C = 70^\circ$$, АМ = 5,47 см