4. В прямоугольным треугольнике биссектриса наименьшего угла образует с меньшим катетом углы, один из которых на 200 больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

Ответ: 35° и 55°

Решение:

Пусть наименьший угол в прямоугольном треугольнике равен α. Тогда биссектриса этого угла образует с меньшим катетом два угла, один из которых на 20° больше другого. Обозначим эти углы как x и x + 20°.

Поскольку биссектриса делит угол α пополам, каждый из углов, образованных биссектрисой, равен α/2. Значит, один из этих углов (x или x + 20°) равен половине наименьшего угла.

Также, в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Из условия, что один из углов на 20° больше другого, имеем два возможных случая:

Случай 1: Биссектриса образует углы x и x + 20° с меньшим катетом. Тогда x + (x + 20°) = 90°.

Случай 2: Один из углов, образованных биссектрисой с катетом, равен α/2. Тогда α/2 = x или α/2 = x + 20°.

Рассмотрим случай, когда биссектриса образует углы x и x + 20° с меньшим катетом. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, поэтому x + (x + 20) = 90.

Решим уравнение:

Таким образом, углы, образованные биссектрисой с катетом, равны 35° и 55°.

Так как биссектриса делит наименьший угол пополам, наименьший угол равен 2 * 35° = 70°.

Другой острый угол равен 90° - 70° = 20°.

Однако, в таком случае один из углов, образованных биссектрисой, не может быть больше другого на 20°. Значит, исходный наименьший угол должен быть меньше.

Пусть наименьший угол равен 2x. Тогда один из углов равен x, а другой x + 20. Значит, x + (x + 20) = 90 - 2x.

Решим это уравнение: 2x + 20 = 90 - 2x. Отсюда 4x = 70, значит, x = 17.5.

Следовательно, наименьший угол равен 2x = 35°, а другой острый угол равен 55°.

Ответ: 35° и 55°