15. В прямоугольной трапеции АBCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 8√2. Запишите решение и ответ.

Ответ: 16

Решение:

1. Трапеция ABCD прямоугольная, ∠A = 45°, значит, ∠BAC = ∠CAD = 45°/2 = 22.5°.

2. Т.к. AD || BC, то ∠BCA = ∠CAD = 22.5° как накрест лежащие.

3. Рассмотрим треугольник ABC. В нём ∠ABC = 90°, ∠BCA = 22.5°, значит, ∠BAC = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°. Но ∠BAC = 22.5°, что противоречит условию.

4. Предположим, что ∠BAD = 90°, а диагональ AC является биссектрисой угла A, значит, ∠BAC = ∠CAD = 90°/2 = 45°. Т.к. AD || BC, то ∠BCA = ∠CAD = 45° как накрест лежащие. Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC = 8\(\sqrt{2}\).

5. Рассмотрим треугольник ABD: прямоугольный (∠A = 90°). Тогда по теореме Пифагора: BD = \(\sqrt{AB^2 + AD^2}\) = \(\sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (16\sqrt{2})^2}\) = \(\sqrt{128 + 512}\) = \(\sqrt{640}\) = 8\(\sqrt{10}\)

6. Т.к. трапеция прямоугольная, то ∠CDA = 90°. Рассмотрим треугольник ACD. В нём ∠CAD = 45°, значит, ∠ACD = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ACD - равнобедренный, и AD = CD.

7. Проведём высоту CH. Рассмотрим треугольник ACH: прямоугольный (∠H = 90°). В нём ∠HAC = 45°, значит, ∠ACH = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ACH - равнобедренный, и AH = CH = AB = 8\(\sqrt{2}\). Тогда AD = AH + HD = 8\(\sqrt{2}\) + 8\(\sqrt{2}\) = 16\(\sqrt{2}\).

8. Рассмотрим треугольник ABD: прямоугольный (∠A = 90°). Тогда по теореме Пифагора: BD = \(\sqrt{AB^2 + AD^2}\) = \(\sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (16\sqrt{2})^2}\) = \(\sqrt{128 + 512}\) = \(\sqrt{640}\) = 8\(\sqrt{10}\)

9. Рассмотрим треугольник ABC: прямоугольный (∠B = 90°). Тогда по теореме Пифагора: AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2}\) = \(\sqrt{128 + 128}\) = \(\sqrt{256}\) = 16

10. Рассмотрим треугольник ACD: прямоугольный (∠D = 90°). Тогда по теореме Пифагора: CD = \(\sqrt{AC^2 - AD^2}\) = \(\sqrt{16^2 - (16\sqrt{2})^2}\) = \(\sqrt{256 - 512}\) = -, чего не может быть.

11. Т.к. ∠A = 45°, то AB = BC = 8\(\sqrt{2}\). Проведём CE || AB, тогда ABCE - прямоугольник, значит, AE = BC = 8\(\sqrt{2}\). Рассмотрим треугольник CED: прямоугольный (∠E = 90°). Т.к. ∠CDE = 45°, то ∠ECD = 45°, значит, DE = CE = 8\(\sqrt{2}\). Тогда AD = AE + ED = 8\(\sqrt{2}\) + 8\(\sqrt{2}\) = 16\(\sqrt{2}\).

12. Рассмотрим треугольник ABD: прямоугольный (∠B = 90°). Тогда по теореме Пифагора: BD = \(\sqrt{AD^2 + AB^2}\) = \(\sqrt{(16\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2}\) = \(\sqrt{512 + 128}\) = \(\sqrt{640}\) = 8\(\sqrt{10}\)

Ответ: 16