13. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 8.

Ответ: 8\(\sqrt{3}\)

Разбираемся:

1. Рассмотрим четырёхугольник MAOB. Из условия задачи и свойств касательных известно, что ∠AOB = 120°, ∠MAO = 90° (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания), ∠MBO = 90° (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания).

2. Найдём угол AMB: Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°, следовательно, ∠AMB = 360° - (∠AOB + ∠MAO + ∠MBO) = 360° - (120° + 90° + 90°) = 60°.

3. Рассмотрим треугольник MAO: прямоугольный (∠MAO = 90°). Найдём AO. Так как MO = 8 и AO = BO (радиусы), то ∠MAO = 1/2 ∠AOB = 1/2 \cdot 120° = 60°. Тогда AO = MO \cdot sin(∠AMO) = 8 \cdot sin(60°) = 8 \cdot \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 4\(\sqrt{3}\).

4. Рассмотрим треугольник AOB: равнобедренный (AO = BO). Проведём высоту OH к основанию AB. Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой, тогда ∠AOH = 1/2 ∠AOB = 1/2 \cdot 120° = 60°. Рассмотрим треугольник AOH: прямоугольный (∠AHO = 90°). Найдём AH. AH = AO \cdot sin(∠AOH) = 4\(\sqrt{3}\) \cdot sin(60°) = 4\(\sqrt{3}\) \cdot \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 6. Тогда AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 6 = 12.

Ответ: 8\(\sqrt{3}\)