14. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6. Запишите решение и ответ.

Ответ: 36

1. Т.к. АМ - биссектриса угла А, то ∠ВАМ = ∠MAD = 60°/2 = 30°.

2. Углы ∠BMA и ∠MAD - накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AM, значит, ∠BMA = ∠MAD = 30°. Отсюда следует, что треугольник АВМ - равнобедренный (т.к. углы при основании равны), и АВ = ВМ = 6.

3. Рассмотрим треугольник АМD. Т.к. ∠АМD = 90°, то ∠АDM = 180° - (∠АМD + ∠MAD) = 180° - (90° + 30°) = 60°.

4. Т.к. ∠CDA = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°, то ∠CDM = ∠CDA - ∠ADМ = 120° - 60° = 60°. Отсюда следует, что DM - биссектриса угла D.

5. Т.к. АМ и DM - биссектрисы углов А и D соответственно, то точка М - точка пересечения биссектрис углов параллелограмма, следовательно, М - середина стороны ВС. Значит, ВС = 2\cdotВМ = 2\cdot6 = 12.

6. Периметр параллелограмма равен 2\cdot(АВ + ВС) = 2\cdot(6 + 12) = 36.

Ответ: 36