В прямоугольной трапеции ABCD боковая сторона равна AB=10 см, большее основание АД=18 см, ∠Д=45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где a и b — основания, h — высота.

В прямоугольной трапеции ABCD, AB является высотой, так как она перпендикулярна основаниям AD и BC (подразумевается, что угол B тоже прямой).

Дано: AB = 10 см (высота h), AD = 18 см (большее основание), ∠Д = 45°.

Из условия, AB = 10 см — это высота трапеции.

Чтобы найти меньшее основание BC, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной CD, высотой, проведенной из C к AD (назовем точку пересечения H) и отрезком HD. В данном случае, так как AB перпендикулярно AD, то AB также является высотой. Если провести высоту из C к AD, то получится прямоугольник ABC'D', где C' находится на AD. Но нам дана прямоугольная трапеция, значит, угол A и угол D прямые, или угол B и угол C прямые. Исходя из условия, что AB - боковая сторона, и AD - большее основание, а угол D = 45°, это означает, что углы при основании AD - это ∠A и ∠D. Если трапеция прямоугольная, то один из углов при меньшем основании является прямым. По условию, ∠D = 45°, значит, углы A и B должны быть прямыми, а AB — высота. Тогда CD — наклонная боковая сторона.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Получим прямоугольник ABCH, где AH = BC, а BH = AB = 10 см. Угол D = 45°. В прямоугольном треугольнике BHD, угол BHD = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Угол D = 45°, BH = 10 см.

Так как сумма углов в треугольнике 180°, то ∠HBD = 180° - 90° - 45° = 45°.

Следовательно, треугольник BHD — равнобедренный прямоугольный треугольник, где BH = HD = 10 см.

Теперь найдем меньшее основание BC. BC = AH. AD = AH + HD. Значит, AH = AD - HD = 18 см - 10 см = 8 см.

Итак, меньшее основание BC = 8 см.

Теперь можем найти площадь трапеции:

\[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB \]

\( S = \frac{18 \text{ см} + 8 \text{ см}}{2} \cdot 10 \text{ см} \)

\( S = \frac{26}{2} \cdot 10 \)

\( S = 13 \cdot 10 = 130 \) см².

Ответ: 130 см².