50.2. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите стороны прямоугольного треугольника.

1. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим высоту как h, тогда: \[h = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\]
2. Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника. Тогда проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 16 см соответственно. Гипотенуза c равна сумме проекций: \[c = 9 + 16 = 25 \text{ см}\]
3. Используем теорему Пифагора для нахождения катетов. Сначала найдем катет a: \[a = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}\]
4. Теперь найдем катет b: \[b = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}\]

Ответ: Катеты треугольника равны 15 см и 20 см, гипотенуза равна 25 см.