50.5*. В прямоугольном треугольнике катеты от- носятся как 4:5. Найдите отношение проекций катетов на гипотенузу.

1. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 4x и 5x.
2. Пусть a = 4x и b = 5x.
3. Гипотенуза c будет равна: \[c = \sqrt{(4x)^2 + (5x)^2} = \sqrt{16x^2 + 25x^2} = \sqrt{41x^2} = x\sqrt{41}\]
4. Пусть a' и b' – проекции катетов a и b на гипотенузу соответственно.
5. Известно, что a^2 = a' * c и b^2 = b' * c.
6. Найдём проекции: \[a' = \frac{a^2}{c} = \frac{(4x)^2}{x\sqrt{41}} = \frac{16x^2}{x\sqrt{41}} = \frac{16x}{\sqrt{41}}\] \[b' = \frac{b^2}{c} = \frac{(5x)^2}{x\sqrt{41}} = \frac{25x^2}{x\sqrt{41}} = \frac{25x}{\sqrt{41}}\]
7. Отношение проекций: \[\frac{a'}{b'} = \frac{\frac{16x}{\sqrt{41}}}{\frac{25x}{\sqrt{41}}} = \frac{16x}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{25x} = \frac{16}{25}\]

Ответ: Отношение проекций катетов на гипотенузу равно 16:25.