4. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а гипотенуза – 32 см. Из вершины прямого угла опущена высота. Найдите больший из отрезков, на которые разбивается гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°. Значит, другой острый угол равен 90° - 60° = 30°. Пусть гипотенуза равна c = 32 см. Высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим эти отрезки как x и y. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой. В одном из них есть угол 60°, а в другом 30°. Больший отрезок гипотенузы лежит напротив меньшего угла. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Поэтому отрезок, прилежащий к углу 60°, будет меньше, а отрезок, прилежащий к углу 30°, будет больше. Катет, прилежащий к углу 30°, равен гипотенузе, умноженной на cos(30°). Но нам нужно найти отрезок гипотенузы. Рассмотрим треугольник с углом 30°. Отрезок гипотенузы, прилежащий к этому углу, будет равен прилежащему катету (который является катетом исходного треугольника) разделить на cos(30°). Найдем катет, прилежащий к углу 30° в исходном треугольнике: он равен гипотенузе * cos(60°) = 32 * 0.5 = 16 см. Теперь рассмотрим треугольник с углом 60°. Отрезок гипотенузы, прилежащий к этому углу, будет равен прилежащему катету (который является катетом исходного треугольника) разделить на cos(60°). Найдем катет, прилежащий к углу 60° в исходном треугольнике: он равен гипотенузе * cos(30°) = 32 * √3/2 = 16√3 см. Меньший отрезок гипотенузы (прилежащий к углу 60°) = 1/2 * гипотенузы = 16 см. Больший отрезок гипотенузы (прилежащий к углу 30°) = (√3/2) * гипотенузы = 16√3 см. Выразим больший отрезок через меньший. Больший отрезок = 32 - 16 = 16 см Больший из отрезков, на которые разбивается гипотенуза, равен 24 см. Ответ: 24 см